如图,在平面直角坐标系XOY中,矩形OEFG的顶点E坐标为（4,0）,顶点G坐标为（0,2）.将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在轴的N处,得到矩形OMNP,OM与GF交于点A.（1）判断△OGA和△OMN是否相似,并说明

Question

如图,在平面直角坐标系XOY中,矩形OEFG的顶点E坐标为（4,0）,顶点G坐标为（0,2）.将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在轴的N处,得到矩形OMNP,OM与GF交于点A.
（1）判断△OGA和△OMN是否相似,并说明理由
（2）求过点A的反比例函数解析式
（3）设（2）中的反比例函数的图像交EF于点B,求直线AB的解析式
（4）请探索：求出的反比例函数的图像是否经过矩形OEFG的对称中心,并说明理由

Answer 1

1)角GOA=角MON 角AGO=角NMO 所以相似（相似三角形的判定有点忘记了,但相信你能解决的）
2）先求过点O、A、M 的直线方程,即通过该方程解A的坐标,所以先得求M的坐标具体过程如下：
过M作MC垂直于Y轴于C
易得NO=根号（4^2+2^2)=2根号5
在RT三角形ONM中 S=S即NM*OM=ON*CM
易得CM=4根号5/5
在RT三角形CMO中OC^2+GM^2=OM^2
得OC=8根号5/5
所以M（4根号5/5,8根号5/5）
令直线OM方程为y=kx(k不=0)
把M带入
得k=2
易得A的纵坐标为2
设A(x,2）
把A带入y=2x
的x=1
所以A(1,2)
设反比例函数为y=k'/x
把A带入
得k'=2
所以该反比例函数的解析式为y=2/x
3）求AB的解析式即求B点坐标,连列反比例函数和直线EF方程可得B的坐标
易得,直线EF方程为x=4
x=4
y=2/x
的x=4 y=1/2
B(4,1/2)
设直线AB的解析式为y=k''x+b
把A、B带入
得k''=-1/2 b=5/2
所以直线AB:y=-1/2x+5/2
4)矩形的对称中心即矩形的中心,把中心点算出来看是否符合反比例函数解析式
令矩形OGFE中心为D
可得D(2,1)
把D带入反比例函数
左边=1
右边=2/2=1
左边=右边
成立
如果要推广到E、F为任意坐标情况
同样可以按照上述2）-4）过程求解