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在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC.(1)如果AB=AC,∠BAC=90°①当点D在线段BC上时(不与点B重合),如图1,请你判断线
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在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC. (1)如果AB=AC,∠BAC=90° ①当点D在线段BC上时(不与点B重合),如图1,请你判断线段CE,BD之间的位置关系和数量关系(直接写出结论); ②当点D在线段BC的延长线上时,请你在图2中画出图形,并判断①中的结论是否仍然成立,并证明你的判断. (2)如图3,若点D在线段BC上运动,DF⊥AD交线段CE于点F,且∠ACB=45°, AC=3
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▼优质解答
答案和解析
(1)①∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE, ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE, ∴CE=BD,∠ACE=∠B, ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°, ∴线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为:CE=BD,CE⊥BD. ②①中的结论仍然成立.理由如下: 如图, ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE, ∴AE=AD,∠DAE=90°, ∵AB=AC,∠BAC=90° ∴∠CAE=∠BAD, ∴△ACE≌△ABD, ∴CE=BD,∠ACE=∠B, ∴∠BCE=90°, 所以线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为:CE=BD,CE⊥BD. (2)过A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,如图, ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE ∴∠DAE=90°,AD=AE, ∴∠NAE=∠ADM, 易证得Rt△AMD≌Rt△ENA, ∴NE=AM, ∵∠ACB=45°, ∴△AMC为等腰直角三角形, ∴AM=MC, ∴MC=NE, ∵AM⊥BC,EN⊥AM, ∴NE ∥ MC, ∴四边形MCEN为平行四边形, ∵∠AMC=90°, ∴四边形MCEN为矩形, ∴∠DCF=90°, ∴Rt△AMD ∽ Rt△DCF, ∴
设DC=x, ∵∠ACB=45°, AC=3
∴AM=CM=3,MD=3-x, ∴
∴CF=-
∴当x=1.5时有最大值,最大值为0.75. |
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