早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC.(1)如果AB=AC,∠BAC=90°①当点D在线段BC上时(不与点B重合),如图1,请你判断线

题目详情
在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°
①当点D在线段BC上时(不与点B重合),如图1,请你判断线段CE,BD之间的位置关系和数量关系(直接写出结论);
②当点D在线段BC的延长线上时,请你在图2中画出图形,并判断①中的结论是否仍然成立,并证明你的判断.
(2)如图3,若点D在线段BC上运动,DF⊥AD交线段CE于点F,且∠ACB=45°, AC=3
2
,试求线段CF长的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)①∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,
∴线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为:CE=BD,CE⊥BD.
②①中的结论仍然成立.理由如下:
如图,
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AE=AD,∠DAE=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD,
∴△ACE≌△ABD,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=90°,
所以线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为:CE=BD,CE⊥BD.

(2)过A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,如图,
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE
∴∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠NAE=∠ADM,
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA,
∴NE=AM,
∵∠ACB=45°,
∴△AMC为等腰直角三角形,
∴AM=MC,
∴MC=NE,
∵AM⊥BC,EN⊥AM,
∴NE ∥ MC,
∴四边形MCEN为平行四边形,
∵∠AMC=90°,
∴四边形MCEN为矩形,
∴∠DCF=90°,
∴Rt△AMD ∽ Rt△DCF,
MD
CF
=
AM
DC

设DC=x,
∵∠ACB=45°, AC=3
2

∴AM=CM=3,MD=3-x,
3-x
CF
=
3
x

∴CF=-
1
3
x 2 +x,
∴当x=1.5时有最大值,最大值为0.75.