如图，已知抛物线y=a（x+1）（x-5）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作

Question

如图，已知抛物线y=a（x+1）（x-5）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，CD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

（1）把C（0，5）代入y=a（x+1）（x-5）得-5a=5，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-5），即y=-x²+4x+5；
（2）能．
当y=0时，-（x+1）（x-5）=0，解得x₁=-1，x₂=5，则A（-1，0），B（5，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得

b=5

5k+b=0

，解得

k=-1

b=5

，
所以直线BC的解析式为y=-x+5，
设D（x，-x²+4x+5），则E（x，-x+5），F（x，0），（0<x<5），
∴DE=-x²+4x+5-（-x+5）=-x²+5x，EF=-x+5，
当DE：EF=2：3时，S_△BDE：S_△BEF=2：3，即（-x²+5x）：（-x+5）=2：3，
整理得3x²-17x+10=0，解得x₁=(2)/(3)，x₂=5（舍去），此时D点坐标为（(2)/(3)，(65)/(9)）；
当DE：EF=3：2时，S_△BDE：S_△BEF=3：2，即（-x²+5x）：（-x+5）=3：2，
整理得2x²-13x+15=0，解得x₁=(3)/(2)，x₂=5（舍去），此时D点坐标为（(3)/(2)，(35)/(4)）；
综上所述，当点D的坐标为（(2)/(3)，(65)/(9)）或（(3)/(2)，(35)/(4)）时，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC²=5²+5²=50，MC²=2²+（t-5）²=t²-10t+29，MB²=（2-5）²+t²=t²+9，
当BC²+MC²=MB²时，△BCM为直角三角形，∠BCM=90°，即50+t²-10t+29=t²+9，解得t=7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC²+MB²=MC²时，△BCM为直角三角形，∠CBM=90°，即50+t²+9=t²-10t+29，解得t=-3，此时M点的坐标为（2，-3）；
当MC²+MM²=BC²时，△BCM为直角三角形，∠CMB=90°，即t²-10t+29+t²+9=50，解得t₁=6，t₂=-1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，-1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，-3），（2，6），（2，-1）．