设自动生产线在调整后出现废品的概率为0.1,而且一旦出现废品就要重新调整,求在两次调整之间所生产的合格品的数目不小于5的概率。
设自动生产线在调整后出现废品的概率为0.1,而且一旦出现废品就要重新调整,求在两次调整之间所生产的合格品的数目不小于5的概率。
0.49049
解析:分析如果用随机变量η表示两次调整之间生产的产品的个数,而且我们知道一旦出现废品就重新调整生产线,所以两次调整之间所生产的合格品是连续出现的,那么随机变量η的取值就服从几何分布,我们在解题时应先求出η的分布列。然后再计算事件“合格品数不小于5”即{η>5}的概率。
解析:设随机变量η表示两次调整之间生产线所生产的产品的个数,则η服从几何分布,事件{η=k}就表示生产了k-1件合格品,且第k件产品是废品。容易求得:
P(η=1)=0.1,
P(η=2)=(1-0.1)×0.1=0.09,
写成分布列的形式为:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
P | 0.1 | 0.09 | 0.81 | 0.0729 | 0.06561 | 0.059049 | … |
题目中要求计算“所生产的合格品数不小于5”的概率,即P(η>5),因为事件{η>5}所包含的基本事件为{η=6},{η=7},…,{η=n},…,所以有
P(η>5)=P(η=6)+P(η=7)+…+P(η=n)+…
我们应用分布列的性质计算上式的值.因为P(η>5)=1-P(η≤5),所以
P(η>5)=1-[P(η=1)+P(η=2)+P(η=3)+P(η=4)+P(η=5)]
=1-(0.1+0.09+0.081+0.0729+0.06561)=0.49049,
所以事件“两次调整之间所生产的合格品数不小于5”的概率为0.49049
点评:这是一道综合例题,包括了分列的计算及分布列的应用两个步骤。该题对于我们巩固所学知识,深入了解分布列有很大帮助
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