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设连续型随机变量X的概率密度为f(x)={aSinx,0≤x≤π(上一行)0,其他(大括号后下一行),求(1)常数a(2)期望E(X)(3)方差D(X)(4)X的分布函数

题目详情
设连续型随机变量X的概率密度为f(x)={ aSinx,0≤x≤π(上一行) 0,其他(大括号后下一行) ,求(1)常数a(2)期望E(X) (3) 方差D(X) (4)X的分布函数
▼优质解答
答案和解析
(1)密度函数在积分区域上的积分总是等于1,于是:
定积分 (x从0到π) asin(x) dx = -acos(x) | x从0到π = 2a = 1,于是a = 1/2;
(2)直接用定义,
EX = 定积分 (x从0到π)axsin(x) dx
= 定积分 (x从0到π)(-ax) dcos(x)
= -axcos(x) | x从0到π + 定积分 (x从0到π)acos(x) dx
= aπ + 0 = aπ = π/2;
(3)
EX^2 = 定积分 (x从0到π)ax^2 sin(x) dx
= 定积分 (x从0到π)(-ax^2) dcos(x)
= (-ax^2)cos(x) | x从0到π + 定积分 (x从0到π)axcos(x) dx
= aπ^2 + 定积分 (x从0到π)ax dsin(x)
= aπ^2 - 定积分 (x从0到π)asin(x) dx
= aπ^2 - 1 = π^2/2 - 1,于是
DX = π^2/2 - 1 - π^2/4 = π^2/4-1;
(4)分布函数定义:
F(x) = 定积分 (t从负无穷到x)f(x) dx
= 0,if x