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定义在R上的函数f(x),对任意x均有f (x)=f(x+2)+f (x-2)且f(2013)=2013,则f(2025)=______.
题目详情
定义在R上的函数f(x),对任意x均有f (x)=f(x+2)+f (x-2)且f(2013)=2013,则f(2025)=______.
▼优质解答
答案和解析
∵定义在R上的函数f(x),对任意x均有f (x)=f(x+2)+f (x-2),①
∴f(x+2)=f(x+4)+f(x),②
由①②,可得f(x-2)=-f(x+4),即f(x)=-f(x+6),
∴f(x+12)=f(x),
∴函数f(x)为周期函数,周期为T=12,
∵f(2013)=2013,
∴f(2025)=f(2025-12)=f(2013)=2013.
故答案为:2013.
∴f(x+2)=f(x+4)+f(x),②
由①②,可得f(x-2)=-f(x+4),即f(x)=-f(x+6),
∴f(x+12)=f(x),
∴函数f(x)为周期函数,周期为T=12,
∵f(2013)=2013,
∴f(2025)=f(2025-12)=f(2013)=2013.
故答案为:2013.
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