冷战时期，前苏联科学家决定用一种简单而暴力的方式探索地球，计划钻出一个直指地心的“超级深井”（如图1），执行到井深约12300米时被停止，原因不明．已知质量分布均匀的球壳对壳

Question

冷战时期，前苏联科学家决定用一种简单而暴力的方式探索地球，计划钻出一个直指地心的“超级深井”（如图1），执行到井深约12300米时被停止，原因不明．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．如图2所示，假设地球半径为R、地表重力加速度为g₀，质量分布均匀，不考虑自转．为研究位于地球内部P点（OP=r）的小球所受引力，可将地球视为无数个同心球壳，其中半径大于r的球壳对小球的引力为零；即小球仅受到半径为r的球体的引力作用．（球体积公式V=(4π)/(3)R³）
（1）求P点重力加速度g，并在图3中补充完成g～r图象 （r>R部分已经给出）．
（2）若井深AP=(R)/(2)，从井口释放一质量为m的小球，落至P点时，速度多大？

Answer 1

（1）由题意知，放在P点的小球仅受到半径为r的球体的引力作用，设半径为r的球体的质量为M′．根据公式V=4πR33以及M=ρV，可知：M′M=r3R3，P点：mg=GM′mr2，地球表面处：mg0=GMmR2联立解得：g=rRg0．故当r