f(x)=ax^2+bx+c对于x∈[-1,1]时有｜f(x)｜≤1求证：当x∈[-1,1]时｜cx^2-bx+a｜≤2

Question

f(x)=ax^2+bx+c对于x∈[-1,1]时有｜f(x)｜≤1求证：当x∈[-1,1]时｜cx^2-bx+a｜≤2

Answer 1

a+b+c=f(1) a-b+c=f(-1) c=f(0)
a=(f(1)+f(-1)）/2 -f(0)
b=(f(1)-f(-1)/2
c=f(0)
｜cx^2-bx+a｜＝|f（0）x^2－(f(1)-f(-1)）x/2－=(f(1)+f(-1)）/2 -f(0)|
=|f(1)/2*(1-x)+f(-1)/2*(1+x)+f(0)*(x^2-1)|
≤|f(1)/2|*|1-x|+|f(-1)/2|*|1+x|+|f(0)|*|x^2-1|
≤0.5*|1|*（|1-x|+|1+x|）+ |1|*|x^2-1| 因为x∈[-1,1]
＝0.5×1×2＋1×1＝2
得证