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f(x)=ax^2+bx+c对于x∈[-1,1]时有|f(x)|≤1求证:当x∈[-1,1]时|cx^2-bx+a|≤2
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f(x)=ax^2+bx+c对于x∈[-1,1]时有|f(x)|≤1求证:当x∈[-1,1]时|cx^2-bx+a|≤2
▼优质解答
答案和解析
a+b+c=f(1) a-b+c=f(-1) c=f(0)
a=(f(1)+f(-1))/2 -f(0)
b=(f(1)-f(-1)/2
c=f(0)
|cx^2-bx+a|=|f(0)x^2-(f(1)-f(-1))x/2-=(f(1)+f(-1))/2 -f(0)|
=|f(1)/2*(1-x)+f(-1)/2*(1+x)+f(0)*(x^2-1)|
≤|f(1)/2|*|1-x|+|f(-1)/2|*|1+x|+|f(0)|*|x^2-1|
≤0.5*|1|*(|1-x|+|1+x|)+ |1|*|x^2-1| 因为x∈[-1,1]
=0.5×1×2+1×1=2
得证
a=(f(1)+f(-1))/2 -f(0)
b=(f(1)-f(-1)/2
c=f(0)
|cx^2-bx+a|=|f(0)x^2-(f(1)-f(-1))x/2-=(f(1)+f(-1))/2 -f(0)|
=|f(1)/2*(1-x)+f(-1)/2*(1+x)+f(0)*(x^2-1)|
≤|f(1)/2|*|1-x|+|f(-1)/2|*|1+x|+|f(0)|*|x^2-1|
≤0.5*|1|*(|1-x|+|1+x|)+ |1|*|x^2-1| 因为x∈[-1,1]
=0.5×1×2+1×1=2
得证
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