定积分元素法的一些问题将某量表示成定积分要求是：求A时,把A分成n个面积,每个面积为ΔA,于是A=ΣΔA要求f(ξ)Δx和ΔA只相差一个无穷小,从而使和Σf(ξ)Δx的极限就是A的精确值（下标i省略了）

Question

定积分元素法的一些问题
将某量表示成定积分要求是：求A时,把A分成n个面积,每个面积为ΔA,于是A=ΣΔA
要求f(ξ)Δx和ΔA只相差一个无穷小,从而使和Σf(ξ)Δx的极限就是A的精确值
（下标i省略了）
以上是书中的内容,我的问题主要是
如果ΔA=f(ξ)Δx+ο(Δx)
那么A=Σ[f(ξ)Δx+ο(Δx)]
两端取λ→0即Δx→0时的极限,左端limA=A
而右端limΣ[f(ξ)Δx+ο(Δx)]=∫f(x)dx+limΣο(Δx) 于是有A=∫f(x)dx+limΣο(Δx)
limΣο(Δx)一定趋于0么?有这类反例么?
还有,如何在使用定积分时保证“f(ξ)Δx和ΔA只相差一个无穷小”
哦,纠正一下,应该是“f(ξ)Δx和ΔA只相差一个Δx的高阶无穷小
limΣο(Δx)是无限个无穷小相加,可无限个无穷小不一定趋于0啊

Answer 1

这个问题我也想过,但感觉证明不了.后来我看到《微积分学教程》上定义了曲边梯形的面积,也就是说ΔA是由积分定义的.那么这些证明也就可以进行了.