下面证明错在哪里？用反证法证明√5是无理数。设√5不是无理数而是有理数，则设√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)两边平方，5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)p^2含有因数5，设p=5m

Question

下面证明错在哪里？用反证法证明√5是无理数。 设√5不是无理数而是有理数， 则设√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1) 两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*) p^2含有因数5，设p=5m 代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2 q^2含有因数5，即q有因数5 这样p,q有公因数5， 这与假设p,q最大公约数为1矛盾， √5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立， √5不是有理数而是无理数。 如法炮制一下 证明根号4是无理数： 证明：若根号4是有理数，则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质） （m/n）^2=根号4 ^2 =4 则m^2/n^2=4 m^2=4*n^2 所以m^2是4的倍数，设m=4k（k是整数） 所以m^2=16k^2=4n^2 4k^2=n^2 所以n是4的倍数 因为m、n互质 所以 矛盾 所以 根号4不是有理数，它是无理数

Answer 1

m^2=4*n^2 ，所以 m^2是4的倍数，到这没错，但只能得出 m^2是4的倍数，即m是2的倍数，也即只能设出m=2k（k为整数）而不是4k，你错在这！