关于相似对角化,标准型,规范型的问题1.用可逆矩阵P把A相似对角化,那么得到的对角阵的元素都是A的特征值吧?2.假设A是实对称矩阵,那么是不是既可以用可逆阵P把A化为对角阵,也可以用正交阵

Question

关于相似对角化,标准型,规范型的问题
1.用可逆矩阵P把A相似对角化,那么得到的对角阵的元素都是A的特征值吧?
2.假设A是实对称矩阵,那么是不是既可以用可逆阵P把A化为对角阵,也可以用正交阵Q把A化为标准型?
那么这两种方法化出来的结果,是一样的嘛?这两个对角阵的元素是不是都是A的特征值?
3.用坐标变换把A化成标准型,这个对角阵的元素不一定是A的特征值对么?
4.用正交变换把A化成标准型,这个对角阵的元素一定是A的特征值对么?
5.规范型应该用什么变换来化?
如果能帮我整理一下这些概念,我会追加分数的,

Answer 1

1、n×n矩阵A可对角化的充要条件为：A存在n个线性无关的特征向量
另一个充要条件为：A的最小多项式无重根
将A对角化的过程如下：
①求矩阵A的特征值(a1,...ar)与对应的特征向量组(η11,...η1s1;...;ηr1,...,ηrsr)（其中ηij为对应于第i个特征值ai的特征向量,每个特征值ai对应的特征向量有si个）,若A可对角化,则A有n个线性无关的特征向量,可构成线性空间的一组基,
②求由标准基到特征向量组的过度矩阵记为P,即(η11,...η1s1;...;ηr1,...,ηrsr)=(e1,...,en)P（其中,ei为仅有第i位为1,其余各项均为0的n为列向量,e1到en构成一组标准基）,不难发现,P就是把特征向量组按列排成的矩阵,且可知P可逆（因为由一组基到另一组基的过度矩阵必可逆）,
③由A*ηij=ai*ηij,我们有：
A(η11,...η1s1;...;ηr1,...,ηrsr)=(η11,...η1s1;...;ηr1,...,ηrsr)diag(a1,...a1,...,ar,...ar)（其中ai有si个）
等价于AP=Pdiag(a1,...a1,...,ar,...ar),
等式两边同时左乘P逆即得：P^(-1)AP=diag(a1,...a1,...,ar,...ar)
由上式可知,所得对角矩阵的元素都为A的特征值.
2、若A为实对称阵,则可以找到这样的正交阵T,使得T'AT=T^(-1)AT=diag(a1,...a1,...,ar,...ar)
具体地,对1中提到的特征向量组按以下方式进行施密特正交化,可得到一组得到标准正交基,将前列排布构成新的矩阵T即为所求.
{正交化方法如下：
不同于普通意义的正交化,我们这里要做的是对每个特征值对应的一小组特征向量分别进行施密特正交化.
例如对特征值ai对应的特征向量组（ηi1,ηi2,...,ηisi）进行施密特正交化如下：
先：
βi1=ηi1,
βi2=ηi2-[(ηi2,βi1)/(βi2,βi1)]βi1,
.
βisi=ηisi-[(ηisi,βi1)/(βi1,βi1)]βi1-[(ηisi,βi2)/(βi2,βi2)]βi2-...-[(ηisi,βisi)/(βisi,βisi)]βisi;
然后：
αik=βik/|βik|（k=1,2,...,si）}
两种方法算出的结果都是diag(a1,...a1,...,ar,...ar)
对角元都是A的特征值.
3、3.用坐标变换把A化成标准型,这个对角阵的元素不一定是A的特征值,这个对.
因为坐标变换是将二次型化为标准型的一种方式,二次型的标准行不唯一,比如：
若f(x1,x2)经满秩的线性替换化为：y1^2+y2^2；
而令z1=2y1,z2=3y2,仍可得到标准型：4z1^2+9z2^2.
4、本问题在3中已陈述,在此不作赘述.
5、规范型应当用满纸的初等行列变换来化.
所谓规范型,在得到标准型的基础上,再做一次线性替换,让标准型的每一项系数都为1或-1,此处分两步：
第一步：化原对称矩阵为标准型,这一步要经过满秩的初等行列变换,若你想找到这个矩阵到底是什么,那你就这样做：
将A放在上面,E（单位阵）放在下面,排成一个2n行n列的大矩阵,对A从左上到右下进行对称的初等行列变换,进行列变换时E跟着沾了光,在大矩阵中一起变,行变换时E没跟着变.这样当A变成对角阵时,E就变成了你要的那个满秩的线性替换对应的矩阵Q,Q'AQ就是你变化A最后得到的那个标准型对角阵.
第二步：再做一次线性替换,让标准型的每一项系数都为1或-1,这个还用我说吗?.
好好学习,以后有不懂的就问我,我好为人师~祝你学业进步.