已知抛物线y=ax2+bx+1,顶点位于第一象限,且m=a+b+1,则m的取值范围是?

Question

已知抛物线y=ax2+bx+1,顶点位于第一象限,且m=a+b+1,则m的取值范围是?

Answer 1

抛物线的顶点坐标为（-b/(2a),(4a-b^2)/(4a)）,
由已知,-b/(2a)>0 ,且 (4a-b^2)/(4a)>0 ,
1）若 a>0 ,则 b<0 ,且 4a-b^2>0 .
在坐标平面内作抛物线 y^2=4x .满足上述条件的点 P（a,b）在抛物线 y^2=4x 的右侧、y 轴的右侧及 x 轴的下方 ,而满足 m=a+b+1 的点 Q（a,b）是直线 ,当直线与 抛物线相切时,m 达最小.
将 x=m-y-1 代入 y^2=4x 得 y^2=4(m-y-1) ,
化简得 y^2+4y-4(m-1)=0 ,
令判别式=16+16(m-1)=0 得 m=0 ,
所以 m>0 .
2）若 a<0 ,则 b>0 ,且 4a-b^2<0 .
在坐标平面内作抛物线 y^2=4x .满足 a<0,b>0 ,4a-b^2<0 的点 P（a,b）在抛物线 y^2=4x 的左侧及 x 轴上方 ,其实就是整个第二象限 ,此时 m=a+b+1 可以是任意实数,
综上可得,m 的取值范围是 R .