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如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若△PQR周长最小,则最小周长是( ) A. 10B. 15C. 20D. 30
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如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若△PQR周长最小,则最小周长是( )
A. 10
B. 15
C. 20
D. 30
A. 10
B. 15
C. 20
D. 30
▼优质解答
答案和解析
设∠POA=θ,则∠POB=30°-θ,作PM⊥OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.
作PN⊥OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.
连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ,PR,则△PQR即为周长最短的三角形.
∵OA是PE的垂直平分线,
∴EQ=QP;
同理,OB是PF的垂直平分线,
∴FR=RP,
∴△PQR的周长=EF.
∵OE=OF=OP=10,且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°-θ)=60°,
∴△EOF是正三角形,∴EF=10,
即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10.
故选A.
作PN⊥OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.
连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ,PR,则△PQR即为周长最短的三角形.
∵OA是PE的垂直平分线,
∴EQ=QP;
同理,OB是PF的垂直平分线,
∴FR=RP,
∴△PQR的周长=EF.
∵OE=OF=OP=10,且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°-θ)=60°,
∴△EOF是正三角形,∴EF=10,
即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10.
故选A.
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