空间四边形ABCD中,以知AB=3,AC=AD=2,角DAC=角BAC=角BAD=60度,求证:平面BCD垂直平面ADC

Question

空间四边形ABCD中,以知AB=3,AC=AD=2,角DAC=角BAC=角BAD=60度,求证:平面BCD垂直平面ADC

Answer 1

证明：取CD的中点E,连接BE
∵AC=AD,CE=ED,∠DAC=60
∴AE⊥CD,AC=AD=CD
∴CD=2,CE=ED=CD/2=1,AE²=AC²-CE²=2²-1=3

应用余弦定理
BC²=BD²=AC²+AB²-2AC*BCcs∠BAC=2²+3²-2*2*3*cos60°=7
∴BE⊥CD
∴BE²=BC²-CE²=7-1=6
∴AE²+BE²=3+6=9=AB²

∴AE⊥EB
∴AE⊥面BCD
∴平面BCD⊥平面ADC

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