证明n维欧式空间V的两个正交变换的乘积还是正交变换;两个对称变换的和还是对称变换.

Question

证明n维欧式空间V的两个正交变换的乘积还是正交变换;两个对称变换的和还是对称变换.

Answer 1

希腊字母打着麻烦,就用英文字母代替吧.设a,b为V中两向量,p,q为两个线性变换,如果p,q是正交变换,那么(pa,pb)=(a,b)=(qa,qb).所以(pqa,pqb)=(p(qa),p(qb)=(qa,qb))=(a,b).如果p,q是对称变换,那么(pa,b)=(a,pb),(qa,b)=(a,qb),所以((p+q)a,b)=(pa+qa,b)=(pa,b)+(qa,b)=(a,pb)+(a,qb)=(a,(p+q)b).