已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x上，且这个顶点到原点的距离为2，又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1，求此抛物线的解析式．

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线y=x上，且这个顶点到原点的距离为√(2)，又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1，求此抛物线的解析式．

Answer 1

如图（1）
∵OC=√(2)，
又∵点C在y=x上，
∴OD=DC=1，
∴C点坐标为（-1，-1）．
设二次函数解析式为y=a（x+1）²-1，
整理得y=ax²+2ax+a-1，
∵抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1，
∴(a−1)/(a)=-1，
∴a=(1)/(2)．
∴二次函数解析式为y=(1)/(2)（x+1）²-1．
如图（2）
∵OC=√(2)，
又∵点C在y=x上，
∴OD=DC=1，
∴C点坐标为（1，1）．
设二次函数解析式为y=a（x-1）²+1，
整理得y=ax²-2ax+a+1，
∵抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1，
∴(a+1)/(a)=-1，
∴a=-(1)/(2)．
∴二次函数解析式为y=-(1)/(2)（x-1）²+1．