设函数f(x)在(a,b)上有定义,且在点x0属于(a,b)处可导,并假定序列{xn}和{yn}满足ax0)

Question

设函数f(x)在(a,b)上有定义,且在点x0属于(a,b)处可导,并假定序列{xn}和{yn}满足
ax0)

Answer 1

f(xn)=f(x0)+f'(x0)(xn-x0)+o(xn-x0)
f(yn)=f(x0)+f'(x0)(yn-x0)+o(yn-x0)
f(yn)-f(xn)=f'(x0)(yn-xn)+o(yn-x0)-o(xn-x0)
0≤|(f(yn)-f(xn)) / (yn-xn) - f'(x0)|=|o(yn-x0)-o(xn-x0)|/|yn-xn|
≤|o(yn-x0)|/|yn-xn|+|o(n-x0)|/|yn-xn|
≤|o(yn-x0)|/|yn-x0|+|o(n-x0)|/|yn-x0|
n->∞ |o(yn-x0)|/|yn-x0|+|o(n-x0)|/|yn-x0|→0,
|(f(yn)-f(xn)) / (yn-xn) - f'(x0)|→0
(f(yn)-f(xn)) / (yn-xn)→f'(x0)