某地汽车最大保有量为60万辆，为了确保城市交通便捷畅通，汽车实际保有量x（单位：万辆）应小于60万辆，以便留出适当的空置量，已知汽车的年增长量y（单位：万辆）和实际保有量与空

Question

某地汽车最大保有量为60万辆，为了确保城市交通便捷畅通，汽车实际保有量x（单位：万辆）应小于60万辆，以便留出适当的空置量，已知汽车的年增长量y（单位：万辆）和实际保有量与空置率的乘积成正比，比例系数为k（k>0）．
（空置量=最大保有量-实际保有量，空量率=(空置量)/(最大保有量)）
（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）求汽车年增长量y的最大值；
（Ⅲ）当汽车年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵空量率=(空置量)/(最大保有量)，
∴空量率=(60-x)/(60)，
从而y=k•x（(60-x)/(60)）=(k)/(60)（-x²+60x），
即y关于x的函数关系式为y=(k)/(60)（-x²+60x），（0<x<60）；
（Ⅱ）∵y=(k)/(60)（-x²+60x）=(k)/(60)[-（x-30）²+900]，（0<x<60）；
∴当x=30时，函数的最大值为15k，
故汽车年增长量y的最大值为15k；
（Ⅲ）根据实际意义，实际保有量x与汽车年增长量y的和小于最大保有量60时，
即0<x+y<60，
则当汽车年增长量达到最大值时，0<x+15k<60，
解得-2<k<2，
∵k>0，∴0<k<2，
即k的取值范围是（0，2）．