已知圆O：x2+y2=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足AP＝λPB（λ为参数）．（1）若|AB|＝14，求直线l的方程；（2）若λ=2，求直线l的方程；（3）求实数λ的取值范围．

Question

已知圆O：x²+y²=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足

AP

＝λ

PB

（λ为参数）．
（1）若|AB|＝√(14)，求直线l的方程；
（2）若λ=2，求直线l的方程；
（3）求实数λ的取值范围．

Answer 1

（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程，
整理得（1+k²）x²+2kx-3=0，
利用弦长公式可求得直线方程为y=x+1或y=-x+1．
（II）当直线l的斜率不存在时，

AP

＝3

PB

或

AP

＝(1)/(3)

PB

，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1
代入圆的方程，整理得（1+k²）x²+2kx-3=0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程（*）的两根，
由

AP

＝2

PB

可得x₁=-2x₂ ，则有√(x1+x2＝−x2＝(−2k)/(1+k2)，(1)作业帮用户2017-10-16举报问题解析（I）当直线l的斜率不存在时，求得|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程整理，利用弦长公式可求得直线方程．（II）当直线l的斜率不存在时，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx-3=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，由AP＝2PB可得x1=-2x2，则有x1+x2＝−x2＝(−2k)/(1+k2)，(1)x1x2＝−2x22＝−(3)/(1+k2)，(2)，由此解得k的值，可得直线l的方程．（III）当直线l的斜率不存在时，由条件求得λ的值．当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为y=kx+1，代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx-3=0（*）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，由AP＝λPB可得x1=-λx2，则有x1+x2＝(1−λ)x2＝(−2k)/(1+k2)，(3)x1x2＝−λx22＝−(3)/(1+k2)，(4)，化简可得((1−λ)2)/(λ)＝(4k2)/(3(1+k2))，而(4k2)/(3(1+k2))＝(4)/(3)−(4)/(3(1+k2))∈[0，(4)/(3))，再由0≤((1−λ)2)/(λ)＜(4)/(3)求出λ的范围．综合可得实数λ的取值范围．名师点评本题考点：直线与圆的位置关系；平行向量与共线向量；直线的一般式方程．考点点评：本题主要考查两个向量共线的性质，直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)