AD为⊙O的直径，PD为⊙O的切线，PCB为⊙O的割线，PO分别交AB、AC于点M、N．求证：OM=ON．

Question

AD为⊙O的直径，PD为⊙O的切线，PCB为⊙O的割线，PO分别交AB、AC于点M、N．求证：OM=ON．

Answer 1

证明：过点C作PM的平行线，交AD于Y，交AB于X；
过Y点作AB的平行线，交PB于Z．
∵∠ZYD=∠BAD=∠BCD，
∴Z、Y、C、D共圆，
∴∠ZDO=∠ZCY=∠ZPO．
∴Z、D、P、O共圆，
∠PZO=∠PDO=90°．
∴OZ⊥BC，
又∵YZ∥AB，
∴Z是BC的中点，
∴Y是CX的中点，O是MN的中点，
∴OM=ON．