已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP=CP2．

Question

已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP=CP²．

Answer 1

证明：连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．
∵PC是圆O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠ACP+∠ACM=90°，
又∵CM是直径，
∴∠M+∠ACM=90°，
∴∠ACP=∠M，
∵∠M=∠CBP，
∴∠ACP=∠CBP，
又∵∠APC=∠CPB（公共角），
∴△ACP∽△CBP，
∴AP：CP=CP：BP，
∴AP•BP=CP²．