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(2013•闵行区三模)已知:如图1,A、B是⊙O上两点,OA=5,AB=8,C是AB上任意一点,OC与弦AB相交于点D,过点C作CE⊥OB,交射线BO于点E,CE的延长线交⊙O于点F,联结BC、BF、OF.(1)如图2,当

题目详情
(2013•闵行区三模)已知:如图1,A、B是⊙O上两点,OA=5,AB=8,C是
AB
上任意一点,OC与弦AB相交于点D,过点C作CE⊥OB,交射线BO于点E,CE的延长线交⊙O于点F,联结BC、BF、OF.
(1)如图2,当点E是线段BO的中点时,求弦BF的长;
(2)当点E在线段BO上时,设AD=x,
S△BOD
S△BOC
,求y关于x的函数解析式,并写出这个函数的定义域;
(3)当CD=1时,求四边形OCBF的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点C,B,F在⊙O上,
∴OC=OB=OF=5,
∵CE⊥OB,点E是线段BO的中点,
∴EC=EF,OE=OB,
∴四边形OCBF是菱形,
∴△OBC是等边三角形,
∴BF=OC=5;

(2)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,
∵OA=OB,OH⊥AB,
∴AH=
1
2
AB=
1
2
×8=4,
在Rt△OAH中,利用勾股定理,得:
OH=
OA2−AH2
=
52−42
=3,
由AD=x,得BD=8-x,DH=|x-4|,
在Rt△ODH中,利用勾股定理,得:
OD=
OH2+DH2
=
9+(x−4)2

于是,△BOD与△BOC同高,
得:
S△BOD
S△BOC
=
OD
OC
=
9+(x−4)2
5

即得:y=
作业帮用户 2017-10-23 举报
问题解析
(1)先求出OC=OB=OF=5,再根据CE⊥OB,点E是线段BO的中点,得出EC=EF,OE=OB,则四边形OCBF是菱形,从而得出BF=OC=5;
(2)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,求出AH,再求出OH=
OA2−AH2
=3,由AD=x,得BD=8-x,DH=|x-4|,利用勾股定理得OD=
OH2+DH2
=
9+(x−4)2
,再根据
S△BOD
S△BOC
=
OD
OC
得:y=
9+(x−4)2
5

(3)由CD=1,得OD=4,求出DH=
OD2−OH2
=
7
,BD=4-
7
或4+
7
,再证出△OBC≌△OBF,得出S四边形OCBF=2S△OBC,则当BD=4+
7
时,S△OBD=
1
2
BD•OH,
由CD=1,OD=4,得S△OBC=
5
4
S△OBD,S四边形OCBF=2S△OBC=
15
4
(4+
7
);当BD=4-
7
时,同理可得:S四边形OCBF=2S△OBC=
15
4
(4-
7
).
名师点评
本题考点:
圆的综合题.
考点点评:
此题考查了圆的综合,用到的知识点是勾股定理、垂经定理、四边形三角形的面积、全等三角形的判定与性质,关键是做出辅助线,综合利用有关定理列出算式进行计算.
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