已知函数f（x）=alnx-bx2，a，b∈R．若f（x）在x=1处与直线y=-12相切．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[1e，e]上的最大值．

Question

已知函数f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．若f（x）在x=1处与直线y=-(1)/(2)相切．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[(1)/(e)，e]上的最大值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=alnx-bx²（x>0），∴f′（x）=(a)/(x)-2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-(1)/(2)相切，
∴

f′(1)=a-2b=0

f(1)=-b=-(1)/(2)

，解得

a=1

b=(1)/(2)

；
（2）f（x）=lnx-(1)/(2)x²，f′（x）=(1-x2)/(x)，
当(1)/(e)≤x≤e时，令f'（x）>0得：(1)/(e)≤x<1，
令f'（x）<0，得1<x≤e，
∴f（x）在[(1)/(e)，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=-(1)/(2)．