已知二次函数f(x)满足发f(x+1)-f(x)=2x(x属于R）,且f(0）=1,设g(t)=f(2t+a),t属于[-1,1],求g(t)的最大值.

Question

已知二次函数f(x)满足发f(x+1)-f(x)=2x(x属于R）,且f(0）=1,设g(t)=f(2t+a),t属于[-1,1],求g(t)的最大值.

Answer 1

令f(x)=ax²+bx+c
a(x+1)²+b(x+1)+c-(ax²+bx+c)=2x
2ax+a+b=2x
∴a=1,b=-1
f(0)=c=1
∴f(x)=x²-x+1
g(t)=f(2t+a)=(2t+a)²-(2t+a)+1
=(2t+a-1/2)²+3/4
抛物线开口向上,对称轴：t=1/4-a/2
∴a≤-3/2时,t∈[-1,1]在顶点左边,g(t)单调递减
gmax=g(-1)=(a-2)²-(a-2)+1=a²-4a+4-a+2+1=a²-5a+7
a≥5/2时,t∈[-1,1]在顶点右边,g(t)单调递增
gmax=g(1)=(a+2)²-(a+2)+1=a²+4a+4-a-2+1=a²+3a+3
-3/2