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已知函数f(x)=lnx-ax.(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处的切线与x轴平行,求a的值;(Ⅱ)若a=2,求函数f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅲ)若a=1,请列出表格求函数f(x)的极大值.
题目详情
已知函数f(x)=lnx-ax.
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处的切线与x轴平行,求a的值;
(Ⅱ)若a=2,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅲ)若a=1,请列出表格求函数f(x)的极大值.
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处的切线与x轴平行,求a的值;
(Ⅱ)若a=2,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅲ)若a=1,请列出表格求函数f(x)的极大值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵f(x)=lnx-ax,
∴f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
-a.
∵函数f(x)在x=1处的切线与x轴平行,
∴f'(1)=1-a=0,解得a=1.
(Ⅱ)当a=2时,f(x)=lnx-2x,
∴f'(1)=ln1-2=-2,
∴函数f(x)在x=1处的切点为(1,-2).
∵f′(x)=
-2,∴k=f'(1)=1-2=-1,
∴函数f(x)在x=1处的切线方程为y-(-2)=-(x-1),即x+y+1=0.
(Ⅲ)当a=1时,f(x)=lnx-x,f′(x)=
-1=
.
令f'(x)=0,解得x=1,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
所以f(x)在x=1处取得极大值f(1)=-1.
∴f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
1 |
x |
∵函数f(x)在x=1处的切线与x轴平行,
∴f'(1)=1-a=0,解得a=1.
(Ⅱ)当a=2时,f(x)=lnx-2x,
∴f'(1)=ln1-2=-2,
∴函数f(x)在x=1处的切点为(1,-2).
∵f′(x)=
1 |
x |
∴函数f(x)在x=1处的切线方程为y-(-2)=-(x-1),即x+y+1=0.
(Ⅲ)当a=1时,f(x)=lnx-x,f′(x)=
1 |
x |
1-x |
x |
令f'(x)=0,解得x=1,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
f'(x) | + | 0 | - |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ |
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