已知函数f(x)=ax^2+1（a>0）g(x)=x^3+bx当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间（-∞,-1上的最大值

Question

已知函数f(x)=ax^2+1（a>0）g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间
（-∞,-1】上的最大值

Answer 1

令h(x)=f(x)+g(x)=x^3+ax^2+bx+1
求导得：h'(x)=3x^2+2ax+b
由a>0及a^2=4b知：
h'(x)=3x^2+2ax+b=h'(x)=3x^2+2ax+a^2/4=(3x+a/2)(x+a/2)
h'(x)=0得x=-a/2 ,x=-a/6
所以h(x)=f(x)+g(x)的单调增区间为(-∞,-a/2]∪[-a/6,+∞),单调减区间为[-a/2,-a/6]
要求h(x)在(-∞,-1]最大值,就需要讨论a(a>0)：
1)-1≤-a/2,即0