已知函数f（x）=x3+ax2-a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）对任意a≤-3，使得f（1）是函数f（x）的区间[1，b]（b＞1）上的最大值，求实数b的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x³+ax²-a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）对任意a≤-3，使得f（1）是函数f（x）的区间[1，b]（b＞1）上的最大值，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝3x2+2ax＝3x(x+(2)/(3)a)------------------------------------（2分）
当a=0，f'（x）≥0，函数递增区间是（-∞，+∞）
当a＞0，递增区间是(−∞，−(2)/(3)a)，(0，+∞)
当a＜0，递增区间是(−∞，0)，(−(2a)/(3)，+∞)-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 因为a≤-3，所以−(2)/(3)a≥2
所以无论−(2a)/(3)＜b，还是−(2a)/(3)≥b，只需f（1）≥f（b）就能使得f（1）是函数f（x）在区间[1，b]（b＞1）上的最大值，--------------------------------------------------------------------（8分）
化简得b³+ab²-a-1≤0
令g（a）=（b²-1）a+b³-1，∵b＞1，∴g（-3）=-3（b²-1）+b³-1≤0(b−1)(b2−2b−2)≤0，1＜b≤1+√(3)
所以b的取值范围是(1，1+√(3)]．----------------------------------------（12分）