一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适

Question

一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．

（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；
（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，√(6)≈2.45）

Answer 1

（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，
过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）．
又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．…（3分）
因为|CD|=|CB|，所以8-b=√(162+b2)，解得b=-12．…（6分）
所以圆拱所在圆的方程为：x²+（y+12）²=（8+12）²=20²=400…（8分）
（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，…（10分）
距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，
所以船身至少降低6.5-5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…（12分）