（2013•天桥区一模）如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位

Question

（2013•天桥区一模）如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP的面积为S（单位：cm²），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴(AP)/(AB)=(AQ)/(AC)，
∴(10−2t)/(10)=(2t)/(8)，
t=(20)/(9)，
即当t为(20)/(9)s时，PQ∥BC；

（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
过P作PD⊥AC于D，
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴(AP)/(AB)=(PD)/(BC)，
∴(10−2t)/(10)=(PD)/(6)，
PD=(3)/(5)（10-2t），
∴S=(1)/(2)AQ•PD=(1)/(2)•2t•(3)/(5)（10-2t）=-(6)/(5)t²+6t=-(6)/(5)（t-(5)/(2)）²+7.5，
∵-(6)/(5)＜0，开口向下，有最大值，
当t=(5)/(2)秒时，S的最大值是7.5cm²．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则S_△APQ=(1)/(2)S_△ABC
即-(6)/(5)t²+6t=(1)/(2)×(1)/(2)×8×6
t²-5t+10=0，
∵△=5²-4×1×10=-15＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．