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如图,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,P,Q分别是边AB,AC上的点.(1)如图1,若∠MPB=∠MQC=90°,证明:MP=MQ;(2)如图2,若∠MPB+∠MQC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给
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如图,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,P,Q分别是边AB,AC上的点.
(1)如图1,若∠MPB=∠MQC=90°,证明:MP=MQ;
(2)如图2,若∠MPB+∠MQC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(1)如图1,若∠MPB=∠MQC=90°,证明:MP=MQ;
(2)如图2,若∠MPB+∠MQC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△MBP与△MQC中,
,
∴△MBP≌△MQC,
∴MP=MQ.
(2)若∠MPB+∠MQC=180°,则(1)中的结论仍然成立.理由如下:
过M作ME⊥AB于E,MF⊥AC于F,连接AM,
∵AB=AC,M是中点,
∴AM平分∠BAC,
又ME⊥AB于E,MF⊥AC于F,
∴MF=ME,
∵∠MPB+∠MQC=180°,∠MQC+∠MQA=180°,
∴∠MPB=∠MQA,
在△MEP与△MFQ中,
,
∴△MEP≌△MFQ,
∴MQ=MP.
∴∠B=∠C,
在△MBP与△MQC中,
|
∴△MBP≌△MQC,
∴MP=MQ.
(2)若∠MPB+∠MQC=180°,则(1)中的结论仍然成立.理由如下:
过M作ME⊥AB于E,MF⊥AC于F,连接AM,
∵AB=AC,M是中点,
∴AM平分∠BAC,
又ME⊥AB于E,MF⊥AC于F,
∴MF=ME,
∵∠MPB+∠MQC=180°,∠MQC+∠MQA=180°,
∴∠MPB=∠MQA,
在△MEP与△MFQ中,
|
∴△MEP≌△MFQ,
∴MQ=MP.
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