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已知:在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD.(1)如图1,若AB=BC=AC,求证:AE=EF;(2)如图2,若AB=BC,(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论;(3)
题目详情
已知:在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cf1b9d16fdfaaf513ee0740e8f5494eef01f7a04.jpg)
(1)如图1,若AB=BC=AC,求证:AE=EF;
(2)如图2,若AB=BC,(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论;
(3)如图3,若AB=kBC,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出AE与EF之间的数量关系,并证明.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cf1b9d16fdfaaf513ee0740e8f5494eef01f7a04.jpg)
(1)如图1,若AB=BC=AC,求证:AE=EF;
(2)如图2,若AB=BC,(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论;
(3)如图3,若AB=kBC,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出AE与EF之间的数量关系,并证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,过点E作EH∥AB交AC于点H.
则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC=AC,
∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°,
∴EH=EC.
∵AD∥BC,
∴∠FCE=180°-∠B=120°,
又∵∠AHE=180°-∠BAC=120°,
∴∠AHE=∠FCE,
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:如图2,过点E作EH∥AB交AC于点H,则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB,
∴EH=EC
∵AD∥BC,
∴∠D+∠DCB=180°.
∵∠BAC=∠D,
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(3)猜想:(1)中的结论仍然成立.
证明:如图3,过点E作EH∥AB交AC于点H.
由(2)可得∠EAC=∠EFC,
∵AD∥BC,∠BAC=∠D,
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF,
∴△AEH∽△FEC,
∴AE:EF=EH:EC,
∵EH∥AB,
∴△ABC∽△HEC,
∴EH:EC=AB:BC=k,
∴AE:EF=k,
∴AE=kEF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b2de9c82d158ccbf8aa6408b1ad8bc3eb135416d.jpg)
则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC=AC,
∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°,
∴EH=EC.
∵AD∥BC,
∴∠FCE=180°-∠B=120°,
又∵∠AHE=180°-∠BAC=120°,
∴∠AHE=∠FCE,
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:如图2,过点E作EH∥AB交AC于点H,则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB,
∴EH=EC
∵AD∥BC,
∴∠D+∠DCB=180°.
∵∠BAC=∠D,
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(3)猜想:(1)中的结论仍然成立.
证明:如图3,过点E作EH∥AB交AC于点H.
由(2)可得∠EAC=∠EFC,
∵AD∥BC,∠BAC=∠D,
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF,
∴△AEH∽△FEC,
∴AE:EF=EH:EC,
∵EH∥AB,
∴△ABC∽△HEC,
∴EH:EC=AB:BC=k,
∴AE:EF=k,
∴AE=kEF.
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