已知：△ACB为等腰直角三角形，点P在AC上，连BP，过B点作BE⊥BP，BE=PB，连AE交BC于F．（1）如图1，问PA与CF有何数量关系，并证明；（2）如图2，若点P在CA的延长线上，问上结论是否仍成立，画

Question

已知：△ACB为等腰直角三角形，点P在AC上，连BP，过B点作BE⊥BP，BE=PB，连AE交BC于F．
（1）如图1，问PA与CF有何数量关系，并证明；
（2）如图2，若点P在CA的延长线上，问上结论是否仍成立，画图证明．

Answer 1

（1）结论：PA=2CF，理由如下：
作EM⊥BC垂足为M，
∵∠EBP=∠EMB=90°，
∴∠EBM+∠CBP=90°，∠CBP+∠CPB=90°，
∴∠EBM=∠CPB，
在△EBM和△BPC中，

∠EBM=∠CPB

∠EMB=∠BCP

EB=BP

，
∴△EBM≌△BPC，
∴BM=CP，EM=BC，
∵CB=CA，
∴CM=AP，
∵∠EMC=∠MCA=90°
∴EM∥AC，
∴(EM)/(AC)=(MF)/(CF)，
∵EM=BC=AC，
∴MF=FC即MC=2CF，
∴AP=2CF．
（2）结论不变，如图2，
证明：作EM⊥BC垂足为M，
∵∠EBP=∠EMB=90°，
∴∠EBM+∠CBP=90°，∠CBP+∠CPB=90°，
∴∠EBM=∠CPB，
在△EBM和△BPC中，

∠EBM=∠CPB

∠EMB=∠BCP

EB=BP

，
∴△EBM≌△BPC，
∴BM=CP，EM=BC，∵CB=CA，
∴CM=AP，
∵∠EMC=∠MCA=90°
∴EM∥AC，
∴(EM)/(AC)=(MF)/(CF)，
∵EM=BC=AC，
∴MF=FC即MC=2CF，
∴AP=2CF．