汶川特大地震造成多处严重威胁下游居民安全的堰塞湖，必须人工挖掘、爆破、拦截等方式来引流或疏通湖道，使其汇入主流流域或分散到水库，以免造成洪灾．经过对某堰塞湖的勘察，决

Question

汶川特大地震造成多处严重威胁下游居民安全的堰塞湖，必须人工挖掘、爆破、拦截等方式来引流或疏通湖道，使其汇入主流流域或分散到水库，以免造成洪灾．经过对某堰塞湖的勘察，决定采用挖掘泄流槽来泄洪．

甲、乙两位同学查阅相关资料获知：泄流槽在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．他们分别设计了纵断面如图所示的设计方案：
甲的方案：过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l₁=AB+BC；
乙的方案：过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，
过水湿周l₂=AB+BC+CD；
若甲的△ABC面积和乙的梯形ABCD面积都是S．
（1）分别求l₁（2）和l₂（3）的最小值；（2）哪位同学的设计方案使得流量更大．

Answer 1

（1）对于甲方案：∵S＝(1)/(2)AB2×sinB，∴AB＝√((2S)/(sinB))，l₁=2AB=2√((2S)/(sinB))
∴当sinB=1，B=90°时，(l1)min＝2√(2S)．
对于乙方案：S＝(1)/(2)(BC+AD)×h=(1)/(2)(BC+2×ABcos60°+BC)×ABsin60°=(√(3))/(4)(2BC+AB)×AB=(√(3))/(12)(2BC+AB)×3AB
≤(√(3))/(12)((2BC+4AB)/(2))2=

作业帮用户 2017-10-21 举报

问题解析

（1）由已知中甲的△ABC面积和乙的梯形ABCD面积都是S，我们易求出l₁关于S的表达式，进而根据正弦函数的性质得到l₁的最小值，根据梯形的面积公式，结合基本不等式也可以得到l₂最小值．
（2）根据已知中泄流槽在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大，结合（1）中的结论，我们易得结论．

名师点评

本题考点：

三角形中的几何计算．

考点点评：

本题考查的知识点是基本不等式，函数的最值，其中在求最值时，利用函数的性质，基本不等式，线性规划，导数法，是最常用的四种方法，要根据实际选择恰当的方法．

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