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(2013•房山区二模)如图,ABCD是正方形,DE⊥平面ABCDAF∥DE,DE=DA=2AF=2.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;(Ⅱ)求证:AC∥平面BEF;(Ⅲ)求四面体BDEF的体积.
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(2013•房山区二模)如图,ABCD是正方形,DE⊥平面ABCDAF∥DE,DE=DA=2AF=2.
(Ⅰ) 求证:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ) 求证:AC∥平面BEF;
(Ⅲ) 求四面体BDEF的体积.
(Ⅰ) 求证:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ) 求证:AC∥平面BEF;
(Ⅲ) 求四面体BDEF的体积.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:因为DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DE⊥AC.…(1分)
又因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,…(2分)
因为DE∩BD=D…(3分)
由线面垂直的判定定理可得:AC⊥平面BDE.…(4分)
(Ⅱ)证明:设AC∩BD=O,取BE中点G,连结FG,OG,
所以OG∥DE,且OG=
DE,因为AF∥DE,DE=2AF,
所以AF∥OG,AF=OG,所以,OG∥
DE,且OG=
DE.…(5分)
因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF=OG,且AF∥OG…(6分)
故可得四边形AFGO是平行四边形,所以FG∥AO.…(7分)
因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,…(8分)
所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.…(9分)
(Ⅲ)因为DE⊥平面ABCD,所以 DE⊥AB
因为正方形ABCD中,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF.…(11分)
因为AF∥DE,DE=DA=2AF=2,
所以△DEF的面积为
×ED×AD=2,
所以四面体BDEF的体积=
S△DEF×AB=
.…(14分)
又因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,…(2分)
因为DE∩BD=D…(3分)
由线面垂直的判定定理可得:AC⊥平面BDE.…(4分)
(Ⅱ)证明:设AC∩BD=O,取BE中点G,连结FG,OG,
所以OG∥DE,且OG=
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2 |
所以AF∥OG,AF=OG,所以,OG∥
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因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF=OG,且AF∥OG…(6分)
故可得四边形AFGO是平行四边形,所以FG∥AO.…(7分)
因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,…(8分)
所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.…(9分)
(Ⅲ)因为DE⊥平面ABCD,所以 DE⊥AB
因为正方形ABCD中,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF.…(11分)
因为AF∥DE,DE=DA=2AF=2,
所以△DEF的面积为
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所以四面体BDEF的体积=
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