问题在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B做AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系．探究发现某数学兴趣小组在探究AE，EF的关

Question

【问题】
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B做AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系．
【探究发现】
某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；

【数学思考】
那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论．

Answer 1

【探究发现】AE和EF的数量关系为：AE=EF．
理由：如图1，取AC边的中点G，连接EG，

∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，AG=BE，△CEG是等腰直角三角形，
∴∠CGE=45°，∠EGA=135°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠EBF=135°，∠EAG=∠FEB，
在△EAG和△FEB中，

∠EAG=∠FEB

AG=BE

∠EGA=∠EBF

，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF；

【数学思考】AE=EF仍然成立．
证明：①如图2，若点E在线段BC上，在AC上截取CG=CE，连接GE．

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∴∠FEB+∠AEF=∠AEB=∠EAC+∠ACB，
∴∠FEB=∠EAC，
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠AGE=∠EBF=135°，
在△EAG和△FEB中，

∠EAG=∠FEB

AG=BE

∠EGA=∠EBF

，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF；
②如图3，若点E在线段BC的反向延长线上，在AC反向延长线上截取CG=CE，连接GE．

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∵∠FEB=∠AEF+∠AEC，∠EAG=∠C+∠AEC，
∴∠FEB=∠EAG，
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠AGE=∠EBF=45°，
在△EAG和△FEB中，

∠EAG=∠FEB

AG=BE

∠EGA=∠EBF

，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF；
③如图4，若点E在线段BC的延长线，在AC延长线上截取CG=CE，连接GE．

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=45°，∠ABC=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=90°，
∴∠FEB+∠AEB=90°=∠EAG+∠AEB，∠EBF=45°=∠G，
∴∠FEB=∠EAG，
∵CA=CB，
∴AG=BE，
在△EAG和△FEB中，

∠EAG=∠FEB

AG=BE

∠EGA=∠EBF

，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF．