如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=22，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC

Question

如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2√(2)，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．

（Ⅰ）求证：PA∥GH；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；
（Ⅲ）求几何体M-BDC的体积．

Answer 1

（I）证明：连接MO．
∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，
∵点M为PC的中点，
∴MO∥PA．
又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，
∴PA∥平面BDM．
又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA⊂平面APG，
∴PA∥GH．
（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．
∴DM=√(3)．
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=(1)/(2)BD=1，
又MO=(1)/(2)PA=√(2)，
∴DO²+MO²=DM²，∴BD⊥MO．
∵菱形ABCD中，BD⊥AC，
又MO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，MO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC．
又BD⊂平面BDM，
∴平面PAC⊥平面BDM．
（III） ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，
∴AC=2AO=2√(3)．
在△PAC中，∵PA=2√(2)，AC=2√(3)，PC=2，
∴PA²+PC²=AC²，
∴PA⊥PC，∵MO∥PA，
∴PC⊥MO，
又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC⊂平面PAC，
∴PC⊥平面BDM．
∴V_M-BDC=V_C-BDM=(1)/(3)S△BDM•CM=(1)/(3)×(1)/(2)×BD×MO×MC=(1)/(3)×(1)/(2)×2×√(2)×1=(√(2))/(3)．