已知O是三角形ABC的外心，AB=2，AC=5，若AO=xAB+yAC，且x+4y=2，则三角形ABC的面积为（）A．5394B．5398C．53916D．5392

Question

已知O是三角形ABC的外心，AB=2，AC=5，若

AO

=x

AB

+y

AC

，且x+4y=2，则三角形ABC的面积为（　　）

A．(5√(39))/(4)
B．(5√(39))/(8)
C．(5√(39))/(16)
D．(5√(39))/(2)

Answer 1

如图所示，
过外心O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
则AD=(1)/(2)AB，AE=(1)/(2)AC．
∴

AO

•

AB

=(1)/(2)

AB

2=2，

AO

•

AC

＝(1)/(2)

AC

2=(25)/(2)．
对

AO

=x

AB

+y

AC

分别与

AB

，

AC

作数量积．
可得：

AO

•

AB

=x

AB

2+y

AB

•

AC

，化为2=4x+10ycosA．

AO

•

AC

=x

AB

•

AC

+y

AC

2，化为(25)/(2)＝10xcosA+25y．
又x+4y=2，
联立解得cosA=(2)/(5)或(5)/(8)．
当cosA=(2)/(5)时，x=0，舍去．
∴cosA=(5)/(8)．
∴sinA=√(1−cos2A)=(√(39))/(8)．
∴三角形ABC的面积S=(1)/(2)AB×ACsinA=(1)/(2)×2×5×(√(39))/(8)=(5√(39))/(8)．
故选：B．