一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为小圆弧形（圆弧由光滑模板形成，已画出），经过CD区域时是倾斜的倾角是θ，AB和CD都与BC相切．现将大量的

Question

一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为小圆弧形（圆弧由光滑模板形成，已画出），经过CD区域时是倾斜的倾角是θ，AB和CD都与BC相切．现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h．稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列．每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，（忽略经BC段时的微小滑动），斜面与箱子的摩擦因数μ（小于tanθ），要使箱子能达到D端．已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N．这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．
①皮带速度至少为多少
②求电动机至少的平均输出功率P．

Answer 1

（1）小货箱先在水平面上获得与皮带同速，在斜面上作匀减速直线运动至少到顶速度为0，距离为：s=(h)/(sinθ)，又v₀²=2as，
货箱在斜面上作匀减速直线运动，加速度为：
a=gsinθ-μg cosθ
故皮带速度至少为：V₀=√((2h(gsinθ−μgcosθ))/(sinθ))
（2）水平传送带上小货箱作匀加速直线运动速度达v₀，由于相对传送带滑动，磨擦生热机械能转化为内能．设小货箱匀加速运动时间为t、位移s、加速度为a，则有：s=(at2)/(2)，v₀=at．
传送带有：s₀=v₀t
传送带对小货箱做功：fs=(1)/(2)m

v

2 0

故磨擦生热：Q=fs相=f（s₀-s）=(1)/(2)m

v

2 0

；
小货箱在水平加速阶段，皮带针对每一小货箱克服摩擦力做功：W₁=2×(1)/(2)m

v

2 0

小货箱在斜面上作匀减速直线运动至少到顶速度为0，距离为s=h/sinθ，有：v₀²=2a₂s，
则皮带针对每一小货箱要克服摩擦力做的功为W=2×(1)/(2)m

v

2 0

；
所以电机输出功率用于每个小货箱上共有W₁+W=2m

v

2 0

电机输出功率用于N个小货箱在水平面上加速克服摩擦，和小货箱在斜面上运动时，克服摩擦做功
PT=2Nm

v

2 0

=2Nm(2h(gsinθ−μgcosθ))/(sinθ)，
故P=(4Nmh(gsinθ−μgcosθ))/(Tsinθ)
答：①皮带速度至少为√((2h(gsinθ−μgcosθ))/(sinθ))
②电动机的平均输出功率至少为(4Nmh(gsinθ−μgcosθ))/(Tsinθ)