如图所示，四分之一圆轨道OA与传送带相切相连，下方的CD水平轨道与他们在同一竖直面内．圆轨道OA的半径R=1.25m，传送带长S=2.25m，圆轨道OA光滑，AB与CD间的高度差为h．一滑块从O点静止释放

Question

如图所示，四分之一圆轨道OA与传送带相切相连，下方的CD水平轨道与他们在同一竖直面内．圆轨道OA的半径R=1.25m，传送带长S=2.25m，圆轨道OA光滑，AB与CD间的高度差为h．一滑块从O点静止释放，当滑块经过B点时（无论传送带是否运动），静止在CD上的长为L=(3)/(4)m的木板（此时木板的末端在B点的正下方）在F=12N的水平恒力作用下启动，此时滑块落入木板中．已知滑块与传送带的摩擦因数μ₁=0.2，目木板的质量M=1kg，木板与CD间的摩擦因数为μ₂=0.4，g取10m/s²，求：

（1）如果传送带静止，求滑块到达B点的速度．
（2）如果传送带静止，求h的取值范围．
（3）如果传送带可以以任意速度传动，取h=20m，试判断滑块还能否落在木板上．

Answer 1

（1）滑块滑到A点的速度为vA，由机械能守恒定律可知：
mgR=(1)/(2)mv_A²
代入数据解得：V_A=5m/s；
滑块滑过静止的传送带到达B点后，速度为V_B，
由动能定理有：-μ₁mgS=(1)/(2)mv_B²-(1)/(2)mv_A²     
代入数据得：v_B=4m/s；
（2）木板在CD上运动的加速度由牛顿第二定律得：a=8m/s²；
v_Bt₁≥(1)/(2)at₁²    
代入数据解得：t₁≤1s；
对应的高度为：h₁=(1)/(2)gt₁²  
代入数据解得：h₁≤5m；
如果滑块恰好落在木板右端，需耗时t₂，则有：v_Bt₂≤(1)/(2)at₂²+L
解得：t₂≥(3)/(4)s和0≤t₂≤(1)/(4)s
0≤t₂≤(1)/(4)s对应的高度为：h₂=(1)/(2)gt₂²  
解得：h₂≥(45)/(16)m=2.8125m；
0≤h₂≤(5)/(16)m=0.3125m
故h的取值范围为[(45)/(16)m，5m]，[0m，(5)/(16)m]
（3）如果h=20m，则滑块落在木板上的时间为t，则有h=(1)/(2)gt²，解得t=2s；
如果滑块落在木板左端，需要滑块有速度v_B1，则有v_B1t=(1)/(2)at²，解得v_B1=8m/s；
由于传送带的速度足够大，所以可以让滑块一直处于加速状态，设滑块运动到B点的
速度为v′_B1，则由动能定理有：μ₁mgS=(1)/(2)mv²_B1-(1)/(2)mv_A²      解得：v′_B1=√(34)m/s<8m/s；
即传送带不足以使滑块获得落在木板上所需的速度，故滑块不能落在木板上．
答：（1）如果传送带静止，滑块到达B点的速度为4m/s．
（2）如果传送带静止，h的取值范围为[(45)/(16)m，5m]，[0m，(5)/(16)m]．
（3）如果传送带可以以任意速度传动，取h=20m，滑块不能落在木板上