（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称轴与直线O

Question

（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 的图像经过点 A （-1,1）和点 B （2,2），该函数图像的对称轴与直线 OA 、 OB 分别交于点 C 和点 D ．

小题1:（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
小题2:（2）求证：∠ ABO =∠ CBO ；
小题3:（3）如果点 P 在直线 AB 上，且△ POB
与△ BCD 相似，求点 P 的坐标．

Answer 1

小题1:（1）由题意，得 ………………………………………（1分）
解得 ………………………………………………………………（1分）
∴所求二次函数的解析式为 ．……………………（1分）
对称轴为直线 x =1．
小题2:（2）证明：由直线 OA 的表达式 y =- x ，得点 C 的坐标为（1,-1）．…………（1分）
∵ ， ，∴ AB = BC ．…………………………………（1分）
又∵ ， ，∴ OA = OC ．………………………………（1分）
∴∠ ABO =∠ CBO ．
小题3:（3）由直线 OB 的表达式 y = x ，得点 D 的坐标为（1,1）．………………（1分）
由直线 AB 的表达式 ，
得直线与 x 轴的交点 E 的坐标为（-4,0）．………………………………（1分）
∵△ POB 与△ BCD 相似，∠ ABO =∠ CBO ，
∴∠ BOP =∠ BDC 或∠ BOP =∠ BCD ．
（i）当∠ BOP =∠ BDC 时，由∠ BDC ==135°，得∠ BOP =135°．
∴点 P 不但在直线 AB 上，而且也在 x 轴上，即点 P 与点 E 重合．
∴点 P 的坐标为（-4,0）．…………………………………………………（2分）
（ii）当∠ BOP =∠ BCD 时，
由△ POB ∽△ BCD ，得 ．
而 ， ， ，∴ ．
又∵ ，∴ ．
作 PH ⊥ x 轴，垂足为点 H ， BF ⊥ x 轴，垂足为点 F ．
∵ PH ∥ BF ，∴ ．
而 BF =2， EF =6，∴ ， ．
∴ ．
∴点 P 的坐标为（ , ）．………………………………………………（2分）
综上所述，点 P 的坐标为（-4,0）或（ , ）

略