（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设有抛物线C：y=–x2+x–4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限．（1）

Question

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

       设有抛物线C：y= –x ² +x–4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限．

   （1）求m的值，以及P的坐标；

   （2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；

   （3）设C上有一点R，其横坐标为t，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求t的取值范围．

Answer 1

设点P的坐标为（x1， y1），则y1=kx1……①，y1= –+x1 – 4……②，        ①代入②，得：+（k–）x1+4=0…………………………………………………2分        因为点P为切点，所以 （k–）2–16=0，得：k=或k=……………………4分        当k=时x1= －2，y1= －17；当k=时，x1= 2，y1= 1；        因为点P在第一象限，故所求的斜率k=，P的坐标为 （2，1），……………6分    （2）过 P点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：        x2－x+9=0，设Q点的坐标为 （x2， y2），则2x2=9，所以x2=，y2=－4，        所以Q点的坐标为 （，－4），………………………………………………10分    （3）设C上有一点R（t，－t2+t–4），它到直线PQ的距离为：        d==……………………………………12分        点O到直线PQ的距离PO =，SDOPQ=´PQ´OP，SDPQR=´PQ´d，        因为DOPQ的面积小于DPQR的面积，SDOPQ < SDPQR ，        即：OP < d，即：>5，……………………………………14分        +4>0或+14<0        解之得：t<或t>        所以t的取值范围为t<或t>．……………………………16分