x趋向于0,lim{(1+cosx)^x-2^x]/sin^2(x)}

Question

x趋向于0,lim{(1+cosx)^x-2^x]/sin^2(x)}

Answer 1

因为x->0时,sinx和x为等价无穷小量,所以原极限式变为：
lim[(1+cosx)^x-2^x]/x^2],是0/0型未定式,用罗必塔法则得：
=lim[(1+cosx)^x *( ln(1+cosx) -xsinx)/ (1+cosx))/2x- (2^x * ln2 / 2x)]
=lim[(1+cosx)^x *( ln(1+cosx)-2^x*ln2]/2x-lim(1+cosx)^x *sinx/(1+cosx)
后一部分极限为零,lim(ln(1+cosx)---->ln2
=lim(ln2/2)*[(1+cosx)^x-2^x]/x
=lim(ln2/2)*((1+cosx)^x *( ln(1+cosx) -xsinx/ (1+cosx))-2^x*ln2)
=(ln2/2)*(1+cos0)^0*(ln(1+cos0)-0*sin0/(1+cos0))-2^0*ln2)
=ln2/2*(ln2-ln2)
=0