1、limx*lnx(x趋于0+)2、limx^sinx(x趋于0+)3、lim(1/x-1/e^x-1)(x趋于0)4、limx(e^x-1/cosx-1)(x趋于0)5、lime^x-e^-x/sinx(x趋于0)6、limln(1+1/x)/arctanx(x趋于正无穷)7、limtanx-x/x-sinx(x趋于0)8、lim(x/x-1-1/lnx)(x趋于1)使用洛

Question

1、limx*lnx(x趋于0+)
2、limx^sinx(x趋于0+)
3、lim(1/x-1/e^x-1)(x趋于0)
4、limx(e^x-1/cosx-1)(x趋于0)
5、lime^x-e^-x/sinx(x趋于0)
6、limln(1+1/x)/arctanx(x趋于正无穷)
7、limtanx-x/x-sinx(x趋于0)
8、lim(x/x-1-1/lnx)(x趋于1)
使用洛必达法则求

Answer 1

1、原式=lim[lnx/(1/x)]=lim[(1/x)/(-1/x^2))]=-limx=0；
2、原式=lime^(sinx*lnx)=e^lim[(lnx)/cscx]=e^{lim[(1/x)/(-cscxcotx)]}=e^{-lim[(sinx)^2/(xcosx)]=e^0=1；
3、当x→0时,(e^x)-1～x ,原式=lim{[(e^x)-1-x]/[x((e^x)-1)]}=lim{[(e^x)-1-x]/(x^2)}=lim{[(e^x)-1]/(2x)}=lim[x/(2x)]=1/2；
4、当x→0时,(e^x)-1～x ,cosx-1～-(1/2)x^2,所以,原式=-lim{(x^2)/[(1/2)x^2]}=-1/2；
5、当x→0时,(e^x)-e^(-x)～2x ,sinx～x,所以,原式=lim(2x)/x=2；
6、当x→+∞时,lim(1+1/x)～1/x,arctanx→π/2,所原式=lim(1/x)/(π/2)=0；
7、原式=lim[(secx)^2-1]/(1-cosx)=lim(tanx)^2/[(1/2)x^2)]=2lim(tanx/x)^2=2；
8、原式=lim(xlnx-x+1)/[(x-1)lnx]=limlnx/[lnx+(x-1)/x]=lim(xlnx)/(xlnx+x+1)=lim(lnx+1)/(lnx+2)=1/2