已知x趋向于0时,（1+ax^2)的1/3次幂-1的值与cosx-1的值是等价无穷小,则常数a=

Question

已知x趋向于0时,（1+ax^2)的1/3次幂-1的值与cosx-1的值是等价无穷小,则常数a=__________

Answer 1

∵已知x趋向于0时,（1+ax^2)的1/3次幂-1的值与cosx-1的值是等价无穷小,
∴当x->0时,lim{[(1+ax^2)^(1/3)]/(cosx-1)}=1
∵当x->0时,lim{[(1+ax^2)^(1/3)]/(cosx-1)}
=lim{(-2a/3)(x/sinx)[(1+ax^2)^(-2/3)]} (使用罗比达法则)
=(-2a/3)*lim(x/sinx)*lim[(1+ax^2)^(-2/3)]
=(-2a/3)*1*1
=-2a/3
∴-2a/3=1
故a=-3/2