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如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2cm/s的速度,沿A→C的路线向点C运动.当P、Q到达终点C时,整个运动
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如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2cm/s的速度,沿A→C的路线向点C运动.当P、Q到达终点C时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒. (1)在点P、Q运动过程中,请判断PQ与对角线AC的位置关系,并说明理由; (2)若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N. ①当t为何值时,点P、M、N在一直线上? ②当点P、M、N不在一直线上时,是 否存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的 直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由. |
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答案和解析
(1) 若0<t≤5,则AP=4t,AQ=2t. 则 ==, 又 ∵ AO=10,AB=20,∴ ==.∴ =, 又 ∠CAB=30°,∴ △APQ∽△ABO,∴ ∠AQP=90°,即PQ⊥AC. ………………4分 当5﹤t≤10时,同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC=90°,即PQ⊥AC(考虑一种情况即可) ∴ 在点P、Q运动过程中,始终有PQ⊥AC. (2)① 如图,在RtAPM中,易知AM=,又AQ=2t, QM=20-4t. 由AQ+QM=AM 得2t+20-4t= 解得t=,∴ 当t=时,点P、M、N在一直线上. …………………………8分 ② 存在这样的t,使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形. 设l交AC于H. 如图1,当点N在AD上时,若PN⊥MN,则∠ NMH=30°. ∴ MH=2NH,得 20-4t-=2× 解得t=2, …………………10分 如图2,当点N在CD上时,若PM⊥MN,则∠HMP=30°.∴ MH=2PH,同理可得t= . 故 当t=2或 时,存在以PN为一直角边的直角三角形. …………………12分 |
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