某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金bn元，然后将余额除

Question

某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金(b)/(n)元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
（1）设a_k（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必证明）；
（2）证明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为P_n（b）．对常数b，当n变化时，求

lim

n→∞

P_n（b）（可用公式

lim

n→∞

（1-(1)/(n)）ⁿ=(1)/(e)）．

Answer 1

（1）a₁=(b)/(n)，a₂=(1)/(n)（1-(1)/(n)）•b，a₃=(1)/(n)（1-(1)/(n)）²•b，…，a_k=(1)/(n)（1-(1)/(n)）^k-1•b．
（2）证明：a_k-a_k+1=(1)/(n2)（1-(1)/(n)）^k-1•b＞0，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
（3）设f_k（b）表示发给第k位职工后所剩余额，
则f₁（b）=（1-(1)/(n)）•b，f₂（b）=（1-(1)/(n)）²•b，…，f_k（b）=（1-(1)/(n)）^k•b，
得P_n（b）=f_n（b）=（1-(1)/(n)）ⁿ•b，
故

lim

n→∞

P_n（b）=(b)/(e)．