x的n次方为什么在(0,1)上不一致收敛于0

Question

x的n次方为什么在(0,1)上不一致收敛于0

Answer 1

你要理解“一致收敛”的概念,你先找课本看看一致收敛的定义.
具体到Fn(x)=x^n,虽然在(0,1)区间,Fn(x)=x^n会收敛到F(x)=0,但收敛速度有快有慢,x越接近于1,收敛速度越慢.（甚至可以任意慢,对任意ε>0,任意N>0,存在n>N,x0,使得|Fn(x0)-F(x0)|>ε；）
这种收敛属于“点点收敛”.点点收敛,是每一个点都收敛到极限函数,但收敛快慢没有限制.
一致收敛,不仅仅每一个点都收敛到极限函数,而且收敛速度要好于一个共同的标准（一致性）.
比如在(0,0.5)区间,Fn(x)=x^n会收敛到F(x)=0,虽然收敛速度有快有慢,但是都比0.5^n要快.（对任意ε>0,存在N>0,任意n>N,x0,使得|Fn(x0)-F(x0)|