某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而

Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金 y (单位：万元)随投资收益 x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数 y ＝ f ( x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数 f ( x )模型的基本要求，并分析函数 y ＝ ＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
(2)若该公司采用模型函数 y ＝ 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数 a 的值．

Answer 1

（1）不符合公司要求（2）328

(1)设奖励函数模型为 y ＝ f ( x )，按公司对函数模型的基本要求，函数 y ＝ f ( x )满足：
当 x ∈[10,1 000]时，
① f ( x )在定义域[10,1 000]上是增函数；
② f ( x )≤9恒成立；
③ f ( x )≤ 恒成立．(2分)
对于函数模型 f ( x )＝ ＋2.
当 x ∈[10,1 000]时， f ( x )是增函数，(3分)
f ( x ) _max ＝ f (1 000)＝ ＋2＝ ＋2＜9.
所以 f ( x )≤9恒成立．
但 x ＝10时， f (10)＝ ＋2＞ ，即 f ( x )≤ 不恒成立，
故该函数模型不符合公司要求．(6分)
(2)对于函数模型 f ( x )＝ ，即 f ( x )＝10－ ，
当3 a ＋20＞0，即 a ＞－ 时递增；(8分)
要使 f ( x )≤9对 x ∈[10,1 000]恒成立，
即 f (1 000)≤9,3 a ＋18≥1 000， a ≥ ；(10分)
要使 f ( x )≤ 对 x ∈[10,1 000]恒成立，
即 ≤ ， x ² －48 x ＋15 a ≥0恒成立，所以 a ≥ .(12分)
综上所述， a ≥ ，所以满足条件的最小的正整数 a 的值为328.(14分)