有人设想,在宇宙中可能还存在着“稳定的三星系统”,所谓稳定的三星系统,就是三颗质量相同的星体在彼此间万有引力的作用下,沿着同一圆形轨道以相同的速度做匀速圆周运动,设这三颗星

Question

有人设想,在宇宙中可能还存在着“稳定的三星系统”,所谓稳定的三星系统,就是三颗质量相同的星体在彼此间万有引力的作用下,沿着同一圆形轨道以相同的速度做匀速圆周运动,设这三颗星体的质量均为M,轨道半径为R,万有引力常量为G,求
（1）任意两颗星体之间的万有引力的值
（2）任意一颗星体做圆周运动的向心力
（3）星体做圆周运动的周期

Answer 1

1.这个简单,两星之间引力就是GMm/R^2,因为M=m,所以F=(GM^2)/(r^2)；
2.这个如1楼所说,三星质量相同而且等速,说明三颗星的相对位置是时时不变的,构成了一个等边三角形,要计算向心力,只需把另外两颗当成一个整体即可,这两颗星星的重心在它俩连线中点,即需要求受力行星与所在角的对边中点,所以受力行星的重心与两整体看的行星重心距离为3R/2,整体后的两行星质量为2M,所以F'=GM(2M)/(3R/2)^2,化减后得(8GM^2)/(9R^2)；
3.这个,引力提供向心力,所以(8GM^2)/(9R^2)=(Mv^2)/R
将v=2πR/V代入上式,导出T即可,T=√[(9π^2)(R^3)/2GM]