求证积分不等式对于定积分,求证下列不等式是否成立：∫f(t)^4dt≥(∫f(t)^2dt)^2这里f(t)>0恒成立,积分区间任意给定.假设积分区间是从负无穷到正无穷，写成如下形式：（抱歉之前的不等

Question

求证积分不等式
对于定积分,求证下列不等式是否成立：
∫ f(t)^4 dt ≥ (∫ f(t)^2 dt)^2
这里f(t)>0恒成立,积分区间任意给定.
假设积分区间是从负无穷到正无穷，写成如下形式：（抱歉之前的不等式我写错了）
lim( c→oo )
( 1/2c ) × ∫(-c,c) f(t)^4 dt ≥ [ (1/2c ) × ∫(-c,c) f(t)^2 dt ]^2
可以证明上面不等式成立吗？

Answer 1

可以利用柯西不等式[∫f(x)g(x)]^2dx≤[∫f(x)^2dx][∫g(x)^2dx],令g(t)=1,则代入柯西不等式有
(∫ f(t)^2 dt)^2=(∫ f(t)^2*1dt)^2≤[∫f(t)^4dt]*(∫1dt)≤∫f(t)^4dt